每天都要喝牛奶
这本书主要阐释的观点：语言和数学的产生都是为了同一个目的——记录和传播信息。
前序
在大学前两年学过的数学知识，当时真的不知道用途何在，日常用不上，编程的时候，更多的注重于技术和逻辑，心里不禁对数学有些轻视感。看了吴军博士写的《数学之美》后，发现数学能够降低问题的复杂性，日常所用到的搜索和打字输入法，都有数学模型的存在，而且还了解到许多有趣的数学家生活故事。
嗯，可以说，看完这本书，会重新激发起对数学的兴趣。
简介
书中介绍了吴军在Google、腾讯的工作经历，给我们介绍了关于搜索引擎、语音识别的基础设计原理，还涉及到PageRank（网页排名技术）、状态机、余弦定理实际运用、数学模型、信息最大熵、自然语言处理、马尔科夫链和贝叶斯网络等等方面的原理。
而且吴军在前面的章节中，讲解的内容深入浅出，思路很清晰，体现出作者深厚的功力。而在后面的专业章节中，深入介绍数学，讲解算法，进一步提高我们的思维高度。虽然数学知识忘得差不多，但看起来并不会很吃力，主要是作者举的例子、语言描述和图片的搭配恰到好处。
我还没有这么强的数学能力，但还是想要给大家介绍这本书，就拿第一章介绍，给大家一个安利。
信息的传递
在通信方式中，古时的人和我们今天的通讯模型没有什么不同，都与下图类似：
当时初高中在学文言文的时候，就发现中国古代语言的深奥，简单的一句话可以包含不同的意思，在看这本书的时候(在第二版P11)，才发现答案：
在蔡伦发明纸张之前，数学文字不是一件容易的事情。就以中文为例，在东汉以前要将文字刻在其他物件比如龟壳石碑和竹简上。由于刻一个的时间相当长，因此要惜墨如金。这就使得我们的古文（书面文字）非常简洁，但是也非常难懂，而同时期的口语却和今天的白话差别不大，语句较长但是难懂。（岭南客家话基本保留了古代口语的原貌，写出来和我们清末民初的白话颇为相似。）
然后简单总结了：在通信时，如果信道较宽，信息不必压缩就可以直接传递；而如果信道很窄，信息在传递前需要尽可能地压缩，然后在接收端进行解压缩。在古代，两个人说话说得快是一个宽信道，无需压缩；书写慢是一个窄通道，需要压缩。将日常的白话口语书写成精简的文言文就是信道压缩的过程，而将文言文解释清楚是解压缩的过程。（看来我是解压缩过程中出错了，高中语文多数跪在文言文手上👻）
信息的载体
古埃及人不仅是优秀的农夫和建筑师，他们还发明了最早的保存信息的方式-用图形保存事物，这就是最早的象形文字（Hieroglyphic）。例如古埃及的《亚尼的死者之书》，是一副描绘在纸莎草纸上长达20多米的长卷，是随葬品，放在棺中，可以看做是古埃及死者带到另一个世界的介绍信和今后生活的描述，下图来源百度：
但是随着文明的进步，信息量也逐渐增加，因为没有人能够学会和记住这么多文字，埃及的象形文字数量便不再继续增加了。于是，概念的第一次概括和归类就开始了。例如汉字中，“日”本意是太阳，但它同时又是太阳从升起再到升起的时间周期。（大概“日”字旁的汉字都与太阳有关。）这种概念的聚类，在原理上与今天自然语言处理或者机器学习的聚类有很大的相似性。
同时，文字按照意思来聚类，最终会带来一些歧义性，这时就要根据上下文进行分析。现在使用的输入法，基本都有建立上下文模型，在输入一段文字后，会根据上下文带出下一段内容供用户选择，各个输入法都在不断完善，训练模型争取超越对方。
还有一个🌰，是在罗塞塔（Rosetta）的地方发现的一块破碎的古埃及石碑，上面记录了三种语言：埃及象形文字、埃及的拼音文字和古希腊文。考古学家进行拓印，在学者手中传阅，最终得以将古埃及象形文字破解。可见不管是石碑还是拓片，它所承载的信息才是最总要的。
数字
数学是我们从小学就开始学习的学科之一，但当时还不知道数学的历史，也遗憾没能发现它的美。
数字是技术系统的基础，早期数字并没有书写的形式，而是掰指头，这就是我们今天使用十进制的原因。在早期，人类将数字一道道地刻在木头、骨头或者其他便于携带的物件上，考古学家在斯威士兰和南非之间的乐邦博（Lebombo）发现几根35000年前的狒狒腓骨，上面有用于计数的划痕。说明在35000年前，人类就开始有了计数系统。
人类第二个文明的中心：两河流域的美索不达米亚，诞生了楔形文字（我们这个星球上最古老的拼音文字），出现了楔(xie)子点，用来表示数字，如下图：
（一看到美索不达米亚和楔形字，就会想到周杰伦的《爱在西元前》，方文山和周杰伦是多有才啊！！！）
同样，计数越来越大之后，十个指头已经不够用了。聪明的祖先发明了进位制，逢十进一，开始懂得对数字进行编码，不同的数字代表不同的量。不过玛雅文明是使用二十进制的，相比于十进制，二十进制有很多不便之处，例如十进制只需要背诵九九表，二十进制要背的就是19*19的乘法表，难度更大。
描述数字最有效的是古印度人，他们发明了包括0在内的10个阿拉伯数字，就是今天全世界通用的数字，而且使用起来很方便。但是这种描述数字的方式是由阿拉伯人传入欧洲的，欧洲人将功劳给了“二道贩子”阿拉伯人。阿拉伯数字的革命性不仅在于它的简洁有效，而且标志着数字和文字的分离。这在客观上让自然语言的研究和数学在几千年里没有重合的轨迹，而且越走越远。
文字和语言背后的数学
从象形文字到拼音文字是一个飞跃，因为人类在描述物体的方式上，从物体的外表进化到抽象的概念，同时不自觉地采用了对信息的编码。
楔形文字就是一种拼音文字，每个形状不同的楔子实际上是一个不同的字母，这些字母经过腓尼基商人传播给希腊人的祖先，在不断发展后，古希腊文字母的拼写和读音已经紧密地结合起来了，这种语言相对容易学习，这些只需要几十个字母的语言成为了欧亚非大陆语言体系的主体，在今日，我们把所有西方的拼音文字成为罗马式的语言（Roman Langusages）。
还有罗马体系的文字和意型文字，大都常用字笔画少，而生僻字笔画多。这也符合信息论中的最短编码原理，这样带来的好处是书写起来省时间、省材料。
关于文字和数学的关系，在《圣经》中也有体现。《圣经》的写作持续了很多世纪，后世的人在做补充时，看到的是几百年前甚至上前年前原作的抄写本，那如何做到抄写尽量不出错呢？犹太人发明了一种类似校验码的方法：将每一个希伯来字母对应于一个数字，这样每行文字加起来便会得到一个特殊的数字，成为这一行的校验码。如果这一页每一行和每一列的校验码和原文完全相同，说明这一页无误。同样，只要找到某行某列的校验码不一致，就能确定哪个位置出错。这背后的原理跟我们今日所做的校验是类似的。
从规则到统计
过去大多数学者认为语言识别是根据规则进行匹配，理解自然语言，要分析语句和获取语义，在句法分析中，对一个简答的句子（例如：徐志摩喜欢林徽因。）进行分析，得出它的语法分析树🌲：
乍一眼好像还挺简单，就跟大学学的汇编语言类似（毕竟大学还没接触到更难的语法），简单程序的语法分析器。可这是中文语言，且随着句子的加长或者文字顺序调换后，根据文法规则生成的语法分析树就会更加复杂，而且句子的意思还要根据上下文进行确定，这就导致了需要更多的文法规则和说明各个规则特定的使用环境（越来越多和复杂）。
由于基于规则的句法分析（包括文法分析或者语法分析）的缺点，导致了另一种方法的诞生：统计语言学。采用基于统计的方法，IBM将当时的语音识别率从70%提升到90%，同时语音识别的规模从几百单词上升到几万单词，将语音识别从实验室带向实际应用打好了基础。
自然语言处理的专家贾里尼克提出一个观点：
一个句子是否合理，就看它的可能性大小如何。至于可能性就用概率来衡量。第一个句子出现的概率大致是$10^{-20}$，第二个句子出现的概率是$10^{-25}$，第三个句子出现的概率是$10^{-70}$。因此，第一个句子出现的可能性最大，是第二个句子的10万倍，第三个句子的一百亿亿亿亿亿亿倍。
这样的话，选择概率最大的作为语言识别的结果，会更加符合实际结果。基于统计的自然语言处理方法，在数学模型上和通信是相通的，从此，在数学意义上自然语言处理又与语言的初衷——通信联系在一起了。
最后说一句
里面还有更加高深的数学知识我还没能深入了解，例如离散数学、图论、概率论、高等数学、马尔可夫模型、状态机、数学模型、信息最大熵、自然语言处理和贝叶斯网络等等知识，没法很好给大家介绍。只能给大家献上我的膝盖🐢，先立个flag，之后去补相关知识~~
参考资料：
1：《数学之美》——吴军
2：百度百科